すーがくをがくすー

中の人は情報通信工学専攻です。専攻がらみの数学・物理（特に院試のネタになりそうなもの）を扱う予定。

〔複素解析〕留数定理の実積分への応用①

最近「留数定理気持ちよすぎだろ！」という動画にお目にかかったので, 次の積分を考えてさらに留数定理で気持ちよくなろうと思う。

（問題）

問題：次の I_n の値を求めよ。

\displaystyle I_n = \int_{- \infty}^ {\infty} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx \qquad (n=1, 2, ...)


（方針）

例えば, n = 1 のときは,
\displaystyle I_1 = \int_{- \infty}^ {\infty} \dfrac{1}{x^ {2} + 1} dx = [\arctan{x} ] _ {- \infty}^ {\infty} = \frac{\pi}{2} - \left(- \frac{\pi}{2}\right) = \pi
となるが, これを正攻法で一般化するのは骨が折れる。そこで, 留数定理の出番である。

複素関数

\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^ {2n} + 1}

を考え, その極のうち, \mathrm{Im \,} z > 0 の範囲に存在するものを求める。これらの留数を求め, その和に 2\pi i を乗じれば, 図のような周回積分路 C について

\displaystyle \oint _ {C} f(z) dz

を求めることが出来る。…①

積分路

一方,

\displaystyle \oint _ {C} f(z) dz = \int _ {- R} ^ {R} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx + \displaystyle \int _ {C_R} f(z) dz

であり, ここで R \to \infty の極限をとれば, 第1項は I_n となり, 第2項はゼロへと収束する。つまり,

\displaystyle \lim _ {R \to \infty} {\oint _ {C} f(z) dz} = \int _ {- \infty} ^ {\infty} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx + 0= I_n

となる。…②

①②より, 結果として直接求積操作を行うことなく所望の値を得る。


（解答）


1. f(z) の極を求める。


　極は z^ {2n} + 1 = 0 の複素数解であるから, 結局 f(z) の極は, \mathbb{C} 平面上における単位円周を, 座標 (1, 0) を含まないように 2n 分割するように配置されることに注意する。よって,

\displaystyle z = e^ {i \frac{2m + 1}{2n}\pi} , \qquad m = 0, 1, ... , 2n - 1

がすべての極であり, 特に \mathrm{Im \,} z > 0 の範囲に存在するものは

\displaystyle z = e^ {i \frac{2m + 1}{2n}\pi} , \qquad m = 0, 1, ... , n - 1

である。

極の例 (n = 4 のとき)


2. f(z) の極を求める。


　一般に, \displaystyle f(z) = \frac{Q(z)}{P(z)} の1位の極 \alpha における留数は

\displaystyle \mathrm{Res}(\alpha) = \frac{Q(\alpha)}{P'(\alpha)}

で与えられる（補足1）。 P(z) = z^ {2n} + 1 より P'(z) = 2n z ^ {2n - 1} だから,

\displaystyle \mathrm{Res} \left(e^ {i \frac{2m + 1}{2n}} \pi \right) = \frac{1}{2n e^{i \frac{(2m + 1)(2n - 1)}{2n}} \pi} = \frac{1}{2n e^{i \frac{2n - 2m - 1}{2n}} \pi}

つまり

\displaystyle \mathrm{Res} \left(e^ {i \frac{2m + 1}{2n}} \pi \right) = \frac{1}{2n} \cdot {e^{i \frac{2m - 2n + 1}{2n}} \pi}

を得る。


3. 留数定理により \displaystyle \oint _ {C} f(z) dz の値を求める。


　さて, 留数定理より

\displaystyle \oint _ {C} f(z) dz = 2 \pi i \cdot \sum _ {m = 0} ^ {n - 1} \frac{1}{2n} \cdot {e^{i \frac{2m - 2n + 1}{2n}} \pi}

\displaystyle = \frac{\pi i}{n} \cdot e ^ {i \frac{1 - 2n}{2n}} \sum _ {m = 0} ^ {n - 1} e ^ {i \frac{m}{n} \pi}

\displaystyle = \frac{\pi i}{n} \cdot e ^ {i \frac{1 - 2n}{2n}} \cdot \frac{1 - e^{i \pi}}{1 - e ^ {i \frac{\pi}{n} }}

\displaystyle = \frac{\pi i}{n} \cdot \frac{2}{ \left( 1 - e ^ {i \frac{\pi}{n} } \right) \left(e ^ {i \frac{2n - 1}{2n} \pi} \right)}

\displaystyle = \frac{\pi }{n} \cdot \frac{1}{ \frac{ e^ {i \frac{2n - 1}{2n} \pi} - e^ {i \frac{2n + 1}{2n} \pi} }{2i} }

\displaystyle = \frac{\pi }{n} \cdot \frac{1}{ \frac{ e^ {i \frac{2n - 1}{2n} \pi} - e^ {- i \frac{2n - 1}{2n} \pi} }{2i} }

\displaystyle = \frac{\pi }{n} \cdot \frac{1}{\sin{\frac{(2n - 1) \pi}{2n}}}

\displaystyle = \frac{\pi }{n} \cdot \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2n}}}

を得る。…③


4. \displaystyle \lim _ {R \to \infty} {\oint _ {C} f(z) dz} = \int _ {- \infty} ^ {\infty} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx + 0= I_n を示す。


一方,

\displaystyle \oint _ {C} f(z) dz = \int _ {- R} ^ {R} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx + \displaystyle \int _ {C_R} f(z) dz

のように積分路が分割できる。以下, 後者について R \to \infty のときゼロとなることを示す（ z^ {2n} のオーダで収束するのでほぼ明らかではあるが）。積分路は C_R : z = R e^ {i \theta}, \, \theta \in [0, \pi] より

\displaystyle \left| \displaystyle \int _ {C_R} f(z) dz \right|

\displaystyle = \left| \displaystyle \int _ {0} ^ {\pi} \frac{iRe^ {i \theta}}{R^ {2n} e ^ {i 2\theta} + 1} d\theta \right| （ dz = iRe^{i \theta} より）

\displaystyle \leq \displaystyle \int _ {0} ^ {\pi} \frac{|R|}{|R^ {2n} e ^ {i 2\theta} + 1|} d\theta

\displaystyle \leq \displaystyle \frac{R}{R^ {2n} - 1} \int _ {0} ^ {\pi} d\theta

\displaystyle \leq \displaystyle \frac{\pi R}{R^ {2n} - 1} \to 0 \quad (R \to \infty)

である。したがって,

\displaystyle \lim _ {R \to \infty} {\oint _ {C} f(z) dz} = \int _ {- \infty} ^ {\infty} \frac{1}{x^ {2n} + 1} dx + 0= I_n

がいえる。…④


5. ③④を比較して結果を得る。


したがって, ③④を比較して

\displaystyle I_n = \frac{\pi }{n} \cdot \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2n}}}

を得る。□


（補足）


補足1

　求める留数に対する極が1位であることから, P(\alpha) = 0 に注意して

\displaystyle \mathrm{Res} (\alpha) = \lim _ {z \to \alpha} \frac{Q(z)}{P(z)}(z - \alpha) = \lim _ {z \to \alpha} \frac{Q(z)}{ \frac {P(z) - P(\alpha)}{z - \alpha}} = \frac{Q(\alpha)}{P'(\alpha)}

を得ている。