すーがくをがくすー

中の人は情報通信工学専攻です。専攻がらみの数学・物理（特に院試のネタになりそうなもの）を扱う予定。

〔確率論〕逆関数法による確率分布の生成

　区間 [ 0, 1 ] 上の一様分布に従う確率変数 X から, 任意の確率分布（に従う乱数）を生成する逆関数法を, 定理を覚えることなく使用するための手法について, 問題を通して扱ってみる。


（問題）

問　題

　区間 [ 0, 1 ] 上の一様分布に従う確率変数 X から, 確率密度関数

\displaystyle p(x) = \frac{2}{\pi (e ^ x + e ^ {-x})} \tag{1} 　

に従う確率変数 f(X) を生成する。このとき, f を定めよ。



（概観）

　個人的に確率論・統計論は「門戸が広く, 奥も深い」というイメージを持っている。確率変数一つとっても, その厳密な定義にはルベーグ積分に端を発する測度論に踏み込まなければならず, 「掴めた！」という感覚を得にくい分野の一つだろう。あくまで確率に全く精通していない個人の主観だが。

　さて, まずは本問の意味するところを, p(x) の累積分布関数を F(x) = P(Y \leq x) とし, 数式に置き換えてみる（ここで, 与えられた密度関数 p(x) に従う確率変数を Y としている）。すると, 本問は

\displaystyle P(f(X) \leq a) = F(a) \tag{2}

が成立するような関数 f を定めよ, と述べている。


　次に, (2) の左辺に注目しよう。いま, X の従う確率分布は [ 0, 1 ] 上の一様分布, と明確に与えられている。であれば, (2) の左辺の ( ) の内部において, X が陽に現れるようにうまく変形したい。そこで, f(X) \leq a において両辺 f の逆関数を作用させることを考える。


　しかし, 安易に両辺逆関数をとるわけにはいかない。なぜなら, 不等号の向きがどうなるかに関する議論が必要となるからだ。あるいは, 逆関数そのものの存在が言えるかどうかも分かっていない。

　ここで大きく効いてくるのは, 一般論として, 関数 f が「（連続な）単調増加関数」であるとき, （厳密な証明は省略するが）

「（ f が単調増加） ⇒ （ f^{-1} が存在）」

「（ f が単調増加） ⇒ （ f^{-1} が単調増加）」

がどちらも保証される, という事実である。これは以下の図を見ればほぼほぼ明らかであろう。

単調増加関数

本問において, これらの成立は非常に都合が良い。そこで, f が単調増加関数であるという仮定のもと, 両辺の逆関数をとってみる。すると, 以下のようになる。

\displaystyle P(X \leq f ^ {-1} (a)) = F(a) \tag{3}

　 X が区間 [ 0, 1 ] 上の一様分布に従うという仮定から, 左辺の値はそのまま f ^ {-1} (a) となる。ということは, f の逆関数の形が分かったので, f = F ^ {-1} が言えるのである。最後に, 実際に F が累積分布関数であるという仮定から, F ^ {-1} が存在して, かつそれが単調増加関数である。よって, f に課した「単調増加関数」という仮定は適当であったことも分かる。


　以上に留意すれば, 逆関数法の定理を忘れてしまっても, 以下の解答のようにしていちから f を生成することが出来るだろう。

（解答）

[1]　与えられた密度関数の累積分布を求める

　　 p(x) の累積分布関数 F(x) を求める。定義より,

\displaystyle F(x) = \int _ {- \infty} ^ {x} p(t) dt
\displaystyle = \frac{2}{\pi} \int _ {- \infty} ^ {x} \frac{1}{e ^ t + e ^ {-t}} dt
\displaystyle = \frac{2}{\pi} \int _ {0} ^ {e ^ x} \frac{1}{u + \frac{1}{u}} \frac{du}{u} （ u = e ^ t と変数変換）
\displaystyle = \frac{2}{\pi} \int _ {0} ^ {e ^ x} \frac{1}{u ^ 2 + 1} du
\displaystyle = \frac{2}{\pi} \left [ \arctan {u} \right ] _ {0} ^ {e ^ x}
\displaystyle = \frac{2}{\pi} \arctan {(e ^ x)}

　を得る。

[2]　問題文の言い換え

　　さて, 題意より,

\displaystyle P \left( f(X) \leq a \right) = \frac{2}{\pi} \arctan {(e ^ a)} \tag{4}

　を満たす f を求めればよい。

[3]　求める関数の単調増加性を仮定

　　ここで, f が単調増加であると仮定する。このとき f は逆関数をもち, かつその逆関数は単調増加である。よって, f(X) \leq a \Longleftrightarrow X \leq f ^ {-1} (a) だから,

\displaystyle P \left( X \leq f ^ {-1} (a) \right) = \frac{2}{\pi} \arctan {(e ^ a)} \tag{5}

　を満たす f を求める問題に帰着される。


[4]　求める関数を累積分布関数 F で表す

　　 (5) において, いま X が一様分布に従うという仮定から, P(X \leq x) = x となるので,

\displaystyle f ^ {-1} (a) = \frac{2}{\pi} \arctan {(e ^ a)} \tag{6}

　となる。


[5]　求める関数を得る

　　 (6) より, 求める f を得る。 \displaystyle y = \frac{2}{\pi} \arctan{e ^ x} とおくと,

\displaystyle \frac{\pi}{2} y = \arctan(e ^ x)

\displaystyle e ^ x = \tan \left ( \frac{\pi}{2} y \right )

\displaystyle x = \log _ {e} \left ( \tan \left ( \frac{\pi}{2} y \right ) \right ) \Longleftrightarrow y ^ {-1} = \log _ {e} \left ( \tan \left ( \frac{\pi}{2} x \right ) \right )

　だから, 求める f は

\displaystyle f(x) = \log _ {e} \left ( \tan \left ( \frac{\pi}{2} x \right ) \right )

　となる。これは f が単調増加という仮定を満たす。□


（問題出典・参考文献）

渡辺 澄夫, 村田 昇.『確率と統計 ― 情報学への架橋 ―』. コロナ社.